学校图书馆无意中看到薛密翻译的《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》,这是一本有些老的书,译作是在上世纪末完成的。我对这个译者印象不错,《上帝的方程式:爱因斯坦、相对论和膨胀的宇宙》那本书里他在译注里甚至指出了原书的错误。遂借出来看。我对费马大定理(Fermat’s Last Theorem)只有朦胧的印象,它是一个普通人难以理解的东西。翻开书读了一段,发现这个定理的描述却如此的简单,以至小学生都能看懂。它是这么描述的:

xn+yn=zn, 当 n > 2 时不存在正整数解。

当时,费马在研究《算数》中的毕达哥拉斯定理(Pythagorean theorem,勾股定理),而大定理正是基于这个耳熟能详的「在一个直角三角形中,斜边的平方放等于两直角边的平方之和。」其方程为 x2+y2=z2。而费马把幂从 2 改成 4,在他看来这个方程没有实数解。于是在页边处写下了他著名的论断:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadrat um potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

不可能将一个立方数写成两个立方数之和,或者将一个 4 次幂写成两个 4 次幂之和,或者,总的来说,不可能将一个高于 2 次的幂写成两个同样次幂的和。我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里空白太小,写不下。

本书围绕安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)展开。1993年6月23日,怀尔斯在牛顿研究所证明了费马大定理,事前得知小道消息的人们挤满了房间。证明过程结束后,他转过头说道:“我想我就在这里结束(I think I’ll stop here)。”人们举起相机拍摄这一具有历史意义的时刻,掌声一阵接着一阵。

Photo credit: Newton Institute

书中记述了怀尔斯所使用的数学工具,以及三个多世纪来数学家的种种努力,读来饶有趣味,你会在这本书里看到许多熟悉的数学家们的名字。这是一本科普书(切确地说这是一本关于数学史的书),因此你不用担心是否看得懂,作者把一些证明过程写在附录里,内容并不复杂,比如毕达哥拉斯定理的证明。尽管中国古代商高和赵爽也发现了勾股定理,但毕达哥拉斯首先证明了它——数学证明依赖于逻辑过程,一经证明永远是对的,不必再去一一验证未知的直角三角形是否仍然符合这个规律了。

费马大定理的证明涉及了费马所在时代所没有的数学学科,这或许意味着费马可能没有证明出大定理,而乐观主义者认为只是我们没有想到费马的美妙解法。本书的作者西蒙·辛格(Simon Singh)在伦敦帝国学院学习物理,并获得了物理学博士学位,约翰·林奇(John Lynch)和他共同制作了 BBC 《地平线》关于费马大定理的得奖纪录片。